Mathpix 是一款跨平臺（Windows、macOS、Linux）的 OCR 工具，它能夠識別復雜的數學公式，并將其轉換為 LaTeX 語法。@Appinn

LaTeX 是一個十分強大切流行的排版系統，除了能編寫數學公式，還能非常完整的撰寫學術論文，并且被國際各大機構接受，但一直以入門難著稱。

Mathpix 能夠直接截取數學公式的圖片，轉換為 LaTeX 語法，非常簡單方便，并且支持三大主流系統。

使用方法是運行 Mathpix 后，使用快捷鍵 Ctrl + Alt/? + M 選取包含數學公式的屏幕區域，然后就自動生成 LaTeX 語法了。

注意需要使用 Mathpix 自帶的截圖功能進行截取，暫不支持使用圖片。然后就可以將獲得的代碼貼到需要的編輯器中了。

其實支持 LaTeX 的編輯器非常多，官方就列出了：

• Typora

• StackEdit

• MacDown

• Authorea

• TeXstudio

• TeXworks

• TeXmaker

• Overleaf

對 LaTeX 有需求的同學可以去試試了，官網在這里。注意經過反饋得知，這是一個在線服務，需要聯網使用。

二元函數中的局部最大, 局部最小或是全局最大, 全局最小點

局部最大值對應的函數曲面的山峰, 而局部最小值對應的谷底. 對于這樣的點, 切平面存在時一定是水平的. 與一元函數一樣, 可以用一階導數判別法來判斷局部極值.

它不適用于定義域的邊界點(邊界點有可能有極值, 且有非零導數). 另外它也不能用于 fx 或 fy 不存在的地方.

這樣, 函數 f 僅有的極值的點是臨界點或邊界點. 與一元函數可能存在拐點一元, 二元可微函數可能存在鞍點.

觀察下面兩條圖形中鞍點:

觀察下面函數 x^2?y^2 的鞍點(紅點), 此函數沒有局部極值.

用更簡單的二元函數來代替函數 f(x,y).

也就是 z=L(x,y) 是曲面f(x,y) 在點 (x0,y0) 的切平面. 觀察下面動畫來查看函數 f(x,y) = -x^2?y^2 在點 (0,0) 的線性化逼近.

從上圖可以看到二元函數的線性化切平面逼近與一元函數的切線線性化逼近是非常類似的.

對于多元函數, 當我們把一個自變量固定, 對另一個變量求導, 這樣就是求偏導. 現在來看下偏導數的定義以及如何計算.

二元函數的偏導數

如果 (x0,y0)是函數 f(x,y) 定義域中的一點, 固定平面 y=y0 割曲面 z=f(x,y) 得到曲線 z=f(x,y0) (如下圖紅色曲線所示).

在點 (x0,y0)對于 y 的偏導數定義類似 f 對于 x 的偏導數. 現在只是把 x 固定在 x0 的值, 而取計算 f(x0,y) 在 y0 對 y 的普通導數. 請看下面的動畫:

在平面內, 二元函數取常數值 f (x, y) = c 的點組成函數定義域內的曲線.

觀察下圖 f(x,y)=xe^(?x^2?y^2) 的圖形及等位線和等高線圖形.

向量函數 r 描繪的曲線是繞在圓柱上的螺線(Helix).

對光滑曲線要求 dr/dt != 0 是為了保證曲線在每點有連續轉動的切線, 在光滑曲線上沒有拐角和尖角. 現在觀察有尖拐角的空間曲線情況.

當一個質點在時間區間 I 在空間內運動時, 可以把質點的坐標看做在 I 上的函數:

點 (x,y) = (f(t), g(t)) 形成空間上的曲線, 稱它為質點的路徑. 從原點到質點在時刻 t 的位置 P(f(t),g(t),h(t)) 的向量:

是質點的位置向量, 函數 f 和 g 是位置向量的分量函數(分量). 質點的路徑是在時間區間 I 由 r 繪制的曲線. 觀察下面的空間曲線:

柱面(cylinder)是直線(母線)沿著一條給定曲線(準線)平行移動所形成的曲面. 請見下面動圖:

雙曲柱面 y2?z2=1y2?z2=1 由平行于 x 軸并且過 yOz 平面上的雙曲線 y2?z2=1y2?z2=1 的直線構成. 柱面在垂直于 x 軸的平面上的截線雙曲線. 觀察下圖:

如果一個力 F 作用再一個路徑運動的質點上. 我們經常需要知道力再運動方向的大小.

▌點積

兩個非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的點積(或內積)是數 u?v = u1v1+u2v2

▌向量間的夾角

兩個非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的夾角由下面式子給出:

特別注意: 向量 u 和 v 是正交的, 當且僅當 u?v = 0

▌向量投影

下面看看向量 u 在 v 上的向量投影動畫:

▌把一個向量寫成正交向量的和

在研究一個質點沿平面上(或空間中)的一個路徑的運動時, 加速度向量就可以寫成它的切向分量和法向分量之和.

當一個物體沿平面(或空間)內的一個路徑運動時, 它的速度是路徑的一個切向量.

一個向量是一條曲線再一個點 P 的切向量或法向量, 如果它分別平行或垂直于曲線再點 P 的切線. 請觀察下圖動畫:

GeoGebra

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提取碼: 7pfa

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